فیزیک

کار و انرژی

ریاضی 98

پایستگی انرژی مکانیکی

51 مطابق شکل زیر، سه توپ مشابه از بالای ساختمانی، از یک نقطه با سرعت یکسان پرتاب می‌شوند. اگر کار نیروی وزن روی سه توپ از لحظۀ پرتاب تا رسیدن به زمین ‎ $W_{1}$ ‏، ‎ $W_{2}$ ‏و $W_{3}$ باشد، کدام رابطه درست است؟

$W_{1} = W_{2} = W_{3}$
$W_{2} > W_{1} > W_{3}$
$W_{3} < W_{2} < W_{1}$
$W_{2} = W_{3} > W_{1}$

پاسخ: گزینۀ 1

جرم و ارتفاع اولیه برای هر سه توپ یکسان است و کار نیروی وزن برابر

W_{m g} = m g h

و برای هر سه توپ برابر است و به مسیر حرکت جسم وابسته نیست.

ریاضی 1400

پایستگی انرژی مکانیکی

52 هواپیمایی به جرم $60$ تُن با تندی $80 \frac{m}{s}$ از باند فرودگاه بلند می‌شود و در مدت یک دقیقه تندی آن دو برابر می‌شود و به ارتفاع $600$ متری از سطح زمین می‌رسد. در این یک دقیقه، کار نیروی وزن روی هواپیما چند ژول است و انرژی مکانیکی هواپیما چند ژول افزایش می‌یابد؟ ( $g = 10 \frac{N}{k g}$ )

$3 / 6 \times 10^{8}$
،
$9 / 36 \times 10^{8}$
$- 3 / 6 \times 10^{8}$
،
$2 / 16 \times 10^{8}$
$3 / 6 \times 10^{8}$
،
$2 / 16 \times 10^{8}$
$- 3 / 6 \times 10^{8}$
،
$9 / 36 \times 10^{8}$

پاسخ: گزینۀ 4

قسمت اول سؤال کار نیروی وزن را خواسته است و چون حرکت رو به بالا است علامت آن منفی خواهد بود:

m = 60 \times 10^{3} k g

W_{m g} = - m g h

\Rightarrow W_{m g} = - 6 \times 10^{4} \times 10 \times 600 = - 3 / 6 \times 10^{8} J

در قسمت دوم سؤال تغییرات انرژی مکانیکی را حساب می‌کنیم:

E = K + U \Rightarrow Δ E = (K_{2} + U_{2}) - (K_{1} + U_{1})

h_{1} = 0 \Rightarrow U_{1} = m g h_{1} = 0

\Rightarrow Δ E = m g h_{2} + \frac{1}{2} m v_{2}^{2} - \frac{1}{2} m v_{1}^{2}

Δ E = m ((10 \times 600) + (\frac{1}{2} \times 160^{2}) + (\frac{1}{2} \times 80^{2}))

\Rightarrow Δ E = 6 \times 10^{4} (6000 + 12800 - 3200)

\Rightarrow Δ E = 9 / 36 \times 10^{8} J

تجربی 93

پایستگی انرژی مکانیکی

53 مطابق شکل زیر، آونگی به طول $1 / 25$ متر، با تندی $v$ از وضعیت نشان داده شده (نقطۀ $A$ ) عبور می‌کند. کمترین مقدار $v$ چند متر بر ثانیه باشد تا ریسمان بتواند به وضعیت افقی برسد؟ (از مقاومت هوا صرف نظر شود، ‎ $g = 10 \frac{m}{s^{2}}$ ‏و ‎ $\sin 37 ° = 0 / 6$ )

$2$
$2 \sqrt{5}$
$\sqrt{5}$
$4$

پاسخ: گزینۀ 2

وقتی آونگ به وضعیت افقی می‌رسد تندی آن صفر می‌شود (

v_{B} = 0 \Rightarrow K_{B} = 0

). قانون پایستگی انرژی مکانیکی را برای دو نقطۀ

A

B

می‌نویسیم:

\sin 37 ° = 0 / 6 \overset{6^{2} + 8^{2} = 10^{2}}{\to} \cos 37 ° = 0 / 8

h^{'} = L (\cos 37 °) = 1 / 25 \times 0 / 8 = 1 m

E_{A} = E_{B} \Rightarrow K_{A} + U_{A} = K_{B} + U_{B}

\Rightarrow \frac{1}{2} m v^{2} = m g h^{'} \Rightarrow v = 2 \sqrt{5} \frac{m}{s}

ریاضی 93

پایستگی انرژی مکانیکی

54 در شکل مقابل، گلولۀ آونگ از نقطۀ $A$ رها می‌شود و با تندی $v$ از پایین‌ترین نقطۀ مسیر می‌گذرد. هنگامی که تندی گلوله به $\frac{\sqrt{2}}{2} v$ می‌رسد، زاویۀ نخ با راستای قائم چند درجه است؟ (از مقاومت هوا صرف‌نظر شود، $g = 10 \frac{m}{s^{2}}$ و $\cos 53 ° = 0 / 6$ )

$60$
$45$
$37$
$30$

پاسخ: گزینۀ 3

برای بدست آوردن

v

ابتدا اصل پایستگی انرژی مکانیکی را برای نقاط

A

C

می‌نویسیم:

K_{A} + U_{A} = K_{C} + U_{C}

K_{A} = 0, U_{C} = 0 \Rightarrow U_{A} = K_{C}

m g h_{A} = \frac{1}{2} m v_{C}^{2} \Rightarrow v_{C}^{2} = 2 \times 10 \times 0 / 4

\Rightarrow v_{C} = v = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}

حالا برای بدست آوردن

α

اصل پایستگی انرژی مکانیکی را برای نقاط

B

C

می‌نویسیم:

K_{B} + U_{B} = K_{C} + U_{C}

U_{C} = 0 \Rightarrow K_{B} + U_{B} = K_{C}

h_{B} = L - L \cos (α) = L (1 - \cos (α))

\frac{1}{2} m v_{B}^{2} + m g L (1 - \cos (α)) = \frac{1}{2} m v_{C}^{2}

\frac{1}{2} \times {(\frac{\sqrt{2}}{2} \times 2 \sqrt{2})}^{2} + 10 \times 1 \times (1 - \cos (α)) = \frac{1}{2} \times {(2 \sqrt{2})}^{2}

2 + 10 - 10 \cos (α) = 4 \Rightarrow \cos (α) = 0 / 8

\Rightarrow α = 37 °

تألیفی

پایستگی انرژی مکانیکی

55 دو وزنۀ $A$ و $B$ به جرم‌های $m_{A} = 2 k g$ و $m_{B} = 3 k g$ مطابق شکل از حال سکون شروع به حرکت می‌کنند. بعد از $3$ متر جابه‌جایی تندی آنها چند متر بر ثانیه خواهد شد؟ ( $g = 10 \frac{m}{s^{2}}$ )

پاسخ: گزینۀ 3

دقت کنید که تغییرات انرژی پتانسیل گرانشی جسم

A

برابر صفر است زیرا حرکت آن در راستای افقی می‌باشد. بنابراین تغییرات انرژی پتانسیل گرانشی دستگاه برابر با تغییرات انرژی پتانسیل گرانشی جسم

B

است:

Δ K_{t} = - Δ U_{t} \Rightarrow Δ K_{t} + Δ U_{t} = 0

\Rightarrow Δ K_{A} + Δ K_{B} + Δ U_{A} + Δ U_{B} = 0

Δ h_{A} = 0, Δ h_{B} = - 3 m

K_{1_{A}} = K_{1_{B}} = 0, Δ U_{A} = 0

\frac{1}{2} (m_{A} + m_{B}) v^{2} + m_{B} g Δ h_{B} + m_{A} g Δ h_{A} = 0

\Rightarrow \frac{1}{2} \times (3 + 2) \times v^{2} = 3 \times 10 \times 3

\Rightarrow v^{2} = 36 \Rightarrow v = 6 \frac{m}{s}

تألیفی

پایستگی انرژی مکانیکی

56 در شکل روبه‌رو دستگاه از حال سکون رها می‌شود. تندی دستگاه بعد از $2 m$ جابه‌جایی وزنۀ $B$ چند متر بر ثانیه است؟ (جرم نخ و قرقره و اصطحکاک ناچیز است و $g = 10 \frac{m}{s^{2}}$ )

$10$
$8$
$6$
$4$

پاسخ: گزینۀ 4

وزنۀ

B

به اندازۀ

2 m

جابه‌جا می‌شود و این جابه‌جایی در راستای عمودی است. یعنی تغییر ارتفاع آن

2 m

است. وزنۀ

A

نیز به اندازۀ

2 m

بر روی سطح شیب‌دار جابه‌جا می‌شود اما تغییر ارتفاع آن برابر است با:

Δ h_{A} = L \sin (30 °) = 2 \times \frac{1}{2} = 1 m

حال طبق اصل پایستگی انرژی مکانیکی خواهیم داشت:

Δ K_{t} = - Δ U_{t} \Rightarrow Δ K_{t} + Δ U_{t} = 0

\Rightarrow Δ K_{A} + Δ K_{B} + Δ U_{A} + Δ U_{B} = 0

Δ h_{A} = 1 m, Δ h_{B} = - 2 m

K_{1_{A}} = K_{1_{B}} = 0

\frac{1}{2} (m_{A} + m_{B}) v^{2} + m_{A} g Δ h_{A} + m_{B} g Δ h_{B} = 0

\Rightarrow (\frac{1}{2} \times (3 + 2) \times v^{2}) + (2 \times 10 \times 1) + (3 \times 10 \times (- 2)) = 0

\Rightarrow v^{2} = 16 \Rightarrow v = 4 \frac{m}{s}

تألیفی

پایستگی انرژی مکانیکی

57 مطابق شکل روبه‌رو وزنه‌ها از حال سکون شروع به حرکت می‌کنند. پس از چند متر جابه‌جایی تندی آنها به $2 \sqrt{2}$ متر بر ثانیه میرسد؟ (جرم نخ و قرقره و اصطحکاک ناچیز است و $g = 10 \frac{m}{s^{2}}$ )

$0 / 4$
$2$
$0 / 2$
$4$

پاسخ: گزینۀ 2

انرژی جنبشی اولیه و انرژی پتانسیل گرانشی اولیه برای دو وزنه صفر است:

Δ K_{t} = - Δ U_{t} \Rightarrow |Δ K_{t}| = |Δ U_{t}|

K_{1_{A}} = K_{1_{B}} = 0, U_{1_{A}} = U_{1_{B}} = 0

\frac{1}{2} (m_{A} + m_{B}) v^{2} = (m_{B} - m_{A}) g h

\Rightarrow \frac{1}{2} \times (3 + 2) \times {(2 \sqrt{2})}^{2} = (3 - 2) \times 10 \times h

\Rightarrow h = 2 m

تجربی 95

پایستگی انرژی مکانیکی

58 در شکل زیر، وزنۀ $m_{3}$ از حال سکون رها می‌شود. اگر تا لحظه‌ای که وزنۀ ‎ $m_{3}$ ،‏ ‎ $90$ سانتی‌متر پایین می‌آید، مجموع انرژی جنبشی دو وزنۀ $m_{1}$ و $m_{2}$ روی سطح افقی به $22 / 5$ ژول برسد، $m_{3}$ چند کیلوگرم است؟ ( $g = 10 \frac{m}{s^{2}}$ و کلیۀ اصطحکاک‌ها و جرم نخ و قرقره ناچیز است.)

$4$
$5$
$8$
$10$

پاسخ: گزینۀ 2

سه وزنه به هم وصل هستند بنابراین تندی همۀ آنها یکسان است:

K_{1} + K_{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} = 22 / 5 J

\Rightarrow (\frac{1}{2} \times 2 \times v^{2}) + (\frac{1}{2} \times 3 \times v^{2}) = 22 / 5

\Rightarrow \frac{5}{2} \times v^{2} = 22 / 5 \Rightarrow v = 3 \frac{m}{s}

حال قانون پایستگی انرژی مکانیکی را برای کل مجموعه می‌نویسیم. دقت کنید که تغییر انرژی پتانسیل گرانشی مجموعه برابر تغییر انرژی پتانسیل گرانشی وزنۀ

m_{3}

است زیرا دو وزنۀ دیگر فقط در راستای افقی حرکت می‌کنند:

h = 90 c m = 0 / 9 m

Δ K_{t} = Δ U_{t} \Rightarrow \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2} + m_{3}) v^{2} = m_{3} g h

\Rightarrow \frac{1}{2} (2 + 3 + m_{3}) \times 3^{2} = m_{3} \times 10 \times 0 / 9

\Rightarrow m_{3} = 5 k g

تألیفی

پایستگی انرژی مکانیکی

59 مطابق شکل جسمی با تندی اولیه $4 \frac{m}{s}$ پرتاب می‌شود و در انتهای مسیر به فنر برخود می‌کند. بیشترین فشردگی فنر چند سانتی‌متر است؟ ( $g = 10 \frac{m}{s^{2}}$ )

$60$
$36$
$30$
$20$

پاسخ: گزینۀ 1

مبدأ انرژی پتانسیل گرانشی را سطح زمین در نظر می‌گیریم. در ابتدای حرکت جسم دارای انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل گرانشی است و انرژی پتانسیل کشسانی فنر صفر است. در انتهای مسیر ارتفاع جسم و تندی آن صفر است در نتیجه انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل گرانشی آن صفر می‌شود و به صورت انرژی پتانسیل کشسانی در فنر ذخیره می‌شود.

K_{1} + U_{1} + U_{e_{1}} = K_{2} + U_{2} + U_{e_{2}}

\frac{1}{2} m v^{2} + m g h = \frac{1}{2} k x^{2}

(\frac{1}{2} \times 2 \times 16) + (2 \times 10 \times 1) = (\frac{1}{2} \times 200 \times x^{2})

36 = 100 \times x^{2} \Rightarrow x = 0 / 6 m = 60 c m

تجربی 94

پایستگی انرژی مکانیکی

60 در شکل روبه‌رو، سطح افقی بدون اصطحکاک است و طول فنر در حالت عادی $30 c m$ و جرم آن ناچیز است. وزنه را به فنر تکیه داده و فشار می‌دهیم تا طول فنر به $20 c m$ برسد. اگر در این حالت بدون تندی اولیه وزنه را رها کنیم، بیشترین تندی وزنه تا لحظۀ جدا شدن از فنر، چند متر بر ثانیه خواهد بود؟

$2 \sqrt{2}$
$2$
$4$
$4 \sqrt{2}$

پاسخ: گزینۀ 1

مبدأ انرژی پتانسیل گرانشی را همان سطحی که جسم بر روی آن قرار دارد در نظر می‌گیریم و چون جسم در راستای عمودی حرکتی ندارد در نتیجه:

U_{1} = U_{2} = 0

حالت اولیه زمانی است که فنر فشرده شده و حالت دوم زمانی است که جسم از فنر رها می‌شود و فنر طول عادی خودش را دارد:

x_{0} = 30 c m = 0 / 3 m, x_{1} = 20 c m = 0 / 2 m

v_{1} = 0, Δ x = 30 - 20 = 10 c m = 0 / 1 m

E_{1} = E_{2} \Rightarrow K_{1} + U_{1} + U_{e_{1}} = K_{2} + U_{2} + U_{e_{2}}

\Rightarrow U_{e_{1}} = K_{2} \Rightarrow \frac{1}{2} k {(Δ x)}^{2} = \frac{1}{2} m v^{2}

\Rightarrow 400 \times {(0 / 1)}^{2} = 0 / 5 \times v^{2} \Rightarrow v = 2 \sqrt{2}

قبلی
صفحه 6 از 9

بعدی

×

اندازه‌گیری
کار و انرژی
ویژگی‌های ماده
گرما
ترمودینامیک
الکتریسیته ساکن
جریان الکتریکی و مدار
مغناطیس
القای الکترومغناطیسی
حرکت شناسی
دینامیک
نوسان و موج
برهم کنش‌های موج
فیزیک اتمی
فیزیک هسته‌ای
مفاهیم ریاضی

حمایت مالی

حمایت مالی داوطلبانه و اختیاری

فیزیک

جستجوی درسنامه

جستجوی پیشرفتۀ تست

حمایت مالی